砝码,标准砝码,不锈钢砝码-关于10进位制度的运算方法

砝码,标准砝码,不锈钢砝码-关于10进位制度的运算方法

上海九津砝码厂———

砝码,标准砝码,不锈钢砝码-关于10进位制度的运算方法

  砝码,标准砝码,不锈钢砝码-现在我们普遍使用十进位制进行数学运算， 大概是源于我们的祖先喜欢用手
指来计数， 毕竟数学首先是一种实用的工具。另一种常使用的进位制是二进位制，
在计算机运算之中。
日常生活中好像没有三进制的立足之处。 1 个季度是 3 个月， 应是三进位制，
可是我们说 1 年是 4 个季度， 而不是 11 个季度。 交通信号的红绿黄的三种状态
可以表示 0、 1、 2 来描述， 这似乎与三进制沾上了边， 可是近红绿黄灯多变成
了红绿灯， 三进制变成了二进制。
虽然在日常生活中少有表现的机会， 但是用三进位制就容易解决一道关
于砝码的趣味数学题。

这道砝码问题是巴协（Bachet） 给出的： 要想在天平上称出 1 到 40 磅在内
的整磅数， 问少需要几个多重的砝码？ 这里有两种放置砝码的办法： （1）
所有砝码只放进天平的一端， （2） 砝码可以放进天平的两端。
对于（1） ， 砝码具有两种状态， 不放或者放。 记不放为 0， 放为 1， 这个问
题可以使用二进制来解决。 二进制的砝码重量设置为 1、 2、 4、 8、 16、 32。 在 1
到 1+2+4+8+16+32 也就是 63 之内的数量都可以用 1、 2、 4、 8、 16、 32 中的
某几个数相加得到。 所以问题（1） 的砝码数是 6 个， 每个砝码的重量设置为 1、
2、 4、 8、 16、 32 磅。
对于（2） ， 砝码具有三种状态， 不放、 放在天平左端、 放在天平右端。 记
不放为 0， 放左边为 1， 放右边为-1， 这个问题可以使用三进制来解决。 在三进
制中， 砝码的重量设置为 1、 3、 9、 27. 。 在 1 到 1+3+9+27 也就是 40 之内的任
何数量都可以用 1、 3、 9、 27 中的某几个数相加或者相减获得。
我们来看这几个砝码是如何称量 1 到 40 的：
1=1； 2=3-1； 3=3 ； 4=3+1； 5=9-3-1 ； 6=9-3 ；
7=9-3+1； 8=9-1 ； 9=9 ； 10=9+1 ； 11=9+3-1
……
35=27+9-1； 36=27+9； 37=27+9+1
38=27+9+3-1； 39=27+9+3； 40=27+9+3+1
这里， 加号意味着天平左边放置砝码， 减号意味着天平右边放置砝码（与被
称重的物体放在同一端） 。
如果我们增加两个砝码 81 磅和 243 磅， 用 6 个砝码可以就称重 1 到 364 磅
的重量。 如果砝码继续按 3 的幂次增加重量， 则称重的范围越来越大。 用重量为
1、 3^2、 3^3、 ……、 3^n 的 n 个砝码可以称出从 1 到（3^n-1） /2 的所有重量。
问题是， 如果一个被称物体较重， 我们该如何在天平两端放置砝码呢？ 这里
涉及到十进制向三进制的计算。 像十进制转化为二进制一样， 转化方法就是连续
的除法运算（这里不打算详细介绍） 。
例如， （80）
10 =（2222） 3
等式右边的含义是， 80 可以用 2 个 1、 2 个 3、 2 个 9、 2 个 27 相加而成。
在天平称重中， 我们要的是少的砝码数， 我们可以把 2 变成（10-1）
3 （简
记为-1） ， 也就是说， 一个大一级的砝码减去一个小一级的砝码。 大砝码放在天
平左端， 小砝码和被称重物一同放在天平右端。
因为， （2222）
3 =（1000-1） 3 ， 该式的含义就是用 2 个 1、 2 个 3、 2
个 9、 2 个 27 加成的得数等于用 1 个 81 减去 1 的得数。
所以， 要称重 80 磅的物体， 需要在天平左边放置 1 个 81 磅的砝码， 在天平
右边放置一个 1 磅的砝码。
又例如， 如果我们用少的砝码称出了一个 331 磅的东西， 我们究竟用了哪
几个砝码呢？
因为（331）
10 =（110021） 3 =（1101-11） 3
所以， 要称重 331 磅的物体， 需要在天平左边放置 1 个 243 磅的砝码、 1 个
81 磅的砝码、 1 个 9 磅的砝码、 1 个 1 磅的砝码， 在天平右边放置一个 3 磅的砝
码。
因为每一次称量能区别 3 个球， 将 12 表示为三进制。
在文章的后， 我们把巴协（Bachet） 的砝码问题稍稍扩大一些： 要想在天
平上称出 1 到 500 磅在内的整磅数， 问少需要几个多重的砝码？ 这里有两
种放置砝码的办法： （1） 所有砝码只放进天平的一端， （2） 砝码可以放进天平
的两端。

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